চিহ্নযুক্ত সংখ্যা, ১ এর পরিপূরক ও ২ এর পরিপূরক

নোট: চিহ্নযুক্ত সংখ্যা, ১ এর পরিপূরক ও ২ এর পরিপূরক

লেখক: মো. বেলাল হোসেন নীল
সিনিয়র প্রভাষক (ICT), লক্ষ্মীপুর ভিক্টোরি কলেজ
প্রতিষ্ঠাতা: Neel Text

গল্প দিয়ে শুরু

ভাবো তুমি একটি গ্রামের বাজারে গেলে। সেখানে দোকানদাররা সংখ্যার খেলায় পাকা।

একজন বলে: “ধনাত্মক হলে সামনে + লিখ, ঋণাত্মক হলে – লিখ।”
কিন্তু কম্পিউটার দোকানদার একটু চালাক। সে বলে: “আমার কাছে প্লাস-মাইনাস বোঝানোর আলাদা উপায় আছে। আমি একটুখানি চিহ্ন বিট (sign bit) ব্যবহার করি।”

👉 চিহ্ন বিট = 0 হলে সংখ্যা ধনাত্মক,
👉 চিহ্ন বিট = 1 হলে সংখ্যা ঋণাত্মক।

এভাবেই জন্ম হলো Signed Number (চিহ্নযুক্ত সংখ্যা)!

১️⃣ চিহ্নযুক্ত সংখ্যা কী?

যে সংখ্যার সামনে ধনাত্মক (+) বা ঋণাত্মক (–) চিহ্ন থাকে তাকে চিহ্নযুক্ত সংখ্যা (Signed Number) বলে।

কম্পিউটার সংখ্যার শুরুতে চিহ্ন বিট বসায়। যেমন:

+5 → 00000101 (চিহ্নবিট = 0)
–5 → 10000101 (চিহ্নবিট = 1)

২️⃣ Signed Magnitude (প্রকৃত মান গঠন)

👉 এখানে প্রথম বিট = চিহ্ন বিট
👉 বাকি বিট = আসল মান

উদাহরণ (৮-বিট রেজিস্টার):

+5 = 00000101
–5 = 10000101

সমস্যা: এখানে +0 = 00000000 আর –0 = 10000000 → দুই রকম শূন্য

৩️⃣ ১ এর পরিপূরক (1’s Complement)

👉 কোনো সংখ্যার প্রতিটি বিট উল্টে দিলে (0→1, 1→0) → পাওয়া যায় ১ এর পরিপূরক।
👉 ধনাত্মক সংখ্যার জন্য Signed Magnitude-এর মতোই থাকে।

উদাহরণ (৮-বিট):
+5 = 00000101
–5 = 11111010 (সব বিট উল্টে দিলাম)

সমস্যা: এখানেও দুই রকম শূন্য! (+0 আর –0)

৪️⃣ ২ এর পরিপূরক (2’s Complement)

👉 কোনো সংখ্যার ১ এর পরিপূরক + ১ = ২ এর পরিপূরক।
👉 আধুনিক কম্পিউটারে সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত হয়।
👉 সুবিধা: একটাই শূন্য থাকে, আর যোগ-বিয়োগ একই সার্কিটে সম্ভব।

উদাহরণ (৮-বিট):
+5 = 00000101
–5 বের করতে হলে:

5 এর বাইনারি = 00000101
1’s complement = 11111010
+1 যোগ করো = 11111011

👉 তাই –5 = 11111011

৫️⃣ যোগের মাধ্যমে বিয়োগ (Trick)

কম্পিউটার আলাদা “বিয়োগ” সার্কিট বানায় না।
👉 উদাহরণ: 12 – 25 বের করব।
মানে, 12 + (–25)

ধাপ:

25 এর বাইনারি → 00011001
এর 2’s complement → 11100111
এখন 12 (00001100) + (11100111) = 11110011
👉 = –13

অর্থাৎ বিয়োগের কাজও যোগ দিয়েই হলো!

পরিপূরক অংকের নোট

✅ ১ এর পরিপূরক (1’s Complement)

সংজ্ঞা:
কোনো বাইনারি সংখ্যার প্রতিটি বিটকে উল্টালে (0 → 1, 1 → 0) যে সংখ্যা পাওয়া যায় তাকে ১ এর পরিপূরক বলে।

উদাহরণ–১:
+5 এর 8-bit Binary = 00000101
তাহলে, -5 বের করতে → সব বিট উল্টাতে হবে।

✅ ২ এর পরিপূরক (2’s Complement)

সংজ্ঞা:
১ এর পরিপূরক বের করে তার সাথে বাইনারি 1 যোগ করলে যে মান পাওয়া যায় তাকে ২ এর পরিপূরক বলে।

উদাহরণ–২:
+5 এর 8-bit Binary = 00000101

Step-1: 1’s Complement → 11111010
Step-2: Add 1 → 11111011

✅ যোগের মাধ্যমে বিয়োগ (Using Addition for Subtraction)

উদাহরণ–৩:
(+25) – (+12) →

👉 নিয়ম:
প্রথমে –12 বের করব (2’s Complement পদ্ধতিতে)। তারপর +25 এর সাথে যোগ করব।

Step-1: –12 বের করি →

Step-2: এখন যোগ করি →

(8-bit এ বাড়তি Carry বাদ দিয়ে) → 0010101 = 13

✅ ফলাফল = 13

✅ আরেকটা উদাহরণ (Negative Result)

উদাহরণ–৪:
(+12) – (+25) →

Step-1: –25 বের করি →

Step-2: এখন যোগ করি →

👉 Binary 11110011 = –13 (কারণ MSB = 1, Negative)।

✅ ফলাফল = –13

সারাংশ

১ এর পরিপূরক: বিট উল্টানো।
২ এর পরিপূরক: ১ এর পরিপূরক + ১।
যোগের মাধ্যমে বিয়োগ করা যায়।

বহুনির্বাচনী প্রশ্ন (MCQ – ২০টি)

১। চিহ্নযুক্ত সংখ্যা প্রকাশের জন্য কোন বিট ব্যবহৃত হয়?
ক) ডানদিকের বিট
খ) বামদিকের বিট ✅
গ) সব বিট
ঘ) মাঝের বিট

২। Signed Magnitude পদ্ধতিতে –7 (৮-বিট) হবে—
ক) 00000111
খ) 10000111 ✅
গ) 11111000
ঘ) 01111111

৩। ১ এর পরিপূরক পদ্ধতিতে –5 এর মান হবে—
ক) 11111010 ✅
খ) 00000101
গ) 11111011
ঘ) 10000101

৪। ২ এর পরিপূরক বের করতে হলে—
ক) সরাসরি উল্টানো
খ) উল্টে +1 করা ✅
গ) 2 দিয়ে ভাগ করা
ঘ) 10 দিয়ে গুণ করা

৫। কোন পদ্ধতিতে +0 আর –0 আলাদা হয়?
ক) Signed Magnitude ✅
খ) 2’s Complement
গ) Binary Coded Decimal
ঘ) ASCII

৬। কোন পদ্ধতিতে একটাই শূন্য থাকে?
ক) Signed Magnitude
খ) 1’s Complement
গ) 2’s Complement ✅
ঘ) Octal

৭। ধনাত্মক সংখ্যার উপস্থাপনা সব পদ্ধতিতে একই।
ক) সত্য ✅
খ) মিথ্যা

৮। ২ এর পরিপূরক বেশি ব্যবহৃত হয় কেন?
ক) সস্তা ও দ্রুত ✅
খ) আলাদা সার্কিট দরকার
গ) জটিল
ঘ) শুধুই তত্ত্ব

৯। (00001100)₂ + (11100111)₂ = ?
ক) 00010011
খ) 11110011 ✅
গ) 11101100
ঘ) 10000011

১০। (11111011)₂ কোন সংখ্যা?
ক) +5
খ) –5 ✅
গ) –3
ঘ) –7

১১। ৮-বিট রেজিস্টারে Signed Magnitude-এ সর্বোচ্চ সংখ্যা কত?
ক) 255
খ) +127 ✅
গ) –128
ঘ) +255

১২। ৮-বিটে –128 কে প্রকাশ করা যায় কোন পদ্ধতিতে?
ক) Signed Magnitude
খ) 1’s Complement
গ) 2’s Complement ✅
ঘ) Octal

১৩। চিহ্ন বিট 0 হলে সংখ্যা হবে—
ক) ঋণাত্মক
খ) ধনাত্মক ✅
গ) শূন্য
ঘ) কাল্পনিক

১৪। চিহ্ন বিট 1 হলে সংখ্যা হবে—
ক) ধনাত্মক
খ) ঋণাত্মক ✅
গ) শূন্য
ঘ) বাস্তব

১৫। কোন পদ্ধতিতে যোগ দিয়েই বিয়োগ করা যায়?
ক) 1’s Complement
খ) 2’s Complement ✅
গ) Signed Magnitude
ঘ) Decimal

১৬। রেজিস্টার কী কাজ করে?
ক) স্থায়ী মেমোরি
খ) অস্থায়ী মেমোরি ✅
গ) গ্রাফিক্স
ঘ) প্রসেসর

১৭। 2’s Complement-এ Overflow হলে কী হয়?
ক) সব মুছে যায়
খ) অতিরিক্ত ক্যারি বাদ দিতে হয় ✅
গ) ভুল ফল আসে
ঘ) 0 আসে

১৮। (00000101)₂ এর 1’s Complement কী?
ক) 11111010 ✅
খ) 00000101
গ) 11111011
ঘ) 10000101

১৯। (00000101)₂ এর 2’s Complement কী?
ক) 11111010
খ) 11111011 ✅
গ) 10000101
ঘ) 11111111

২০। 2’s Complement-এর সবচেয়ে বড় সুবিধা—
ক) +0 আর –0 আলাদা
খ) একই সার্কিটে যোগ-বিয়োগ ✅
গ) Signed Magnitude সহজ
ঘ) Decimal-এর মতো

📘 জ্ঞানমূলক প্রশ্ন (৫টি + উত্তর)

১। চিহ্নযুক্ত সংখ্যা কাকে বলে?
👉 যে সংখ্যার সামনে + বা – চিহ্ন থাকে।

২। চিহ্ন বিট কী?
👉 Signed Number-এ বামদিকের প্রথম বিট, যা ধনাত্মক/ঋণাত্মক নির্ধারণ করে।

৩। ১ এর পরিপূরক কী?
👉 সংখ্যার সব বিট উল্টানো।

৪। ২ এর পরিপূরক কী?
👉 ১ এর পরিপূরক + ১।

৫। রেজিস্টার কী?
👉 অস্থায়ী মেমোরি সার্কিট যেখানে বাইনারি সংখ্যা সংরক্ষণ হয়।

📘 অনুধাবনমূলক প্রশ্ন (৫টি + উত্তর)

১। চিহ্নযুক্ত সংখ্যা বলতে কী বুঝ?
👉 যে সংখ্যায় sign bit থাকে এবং ধনাত্মক/ঋণাত্মক বোঝায়।

২। ২ এর পরিপূরক কেন গুরুত্বপূর্ণ?
👉 এতে একটাই শূন্য থাকে, সস্তা, দ্রুত এবং একই সার্কিটে যোগ-বিয়োগ সম্ভব।

৩। বিয়োগের কাজ যোগ দিয়ে কিভাবে হয়?
👉 ঋণাত্মক সংখ্যাকে ২ এর পরিপূরক করে যোগ করলে আসলেই বিয়োগ পাওয়া যায়।

৪। Signed Magnitude পদ্ধতির সমস্যা কী?
👉 এখানে +0 আর –0 আলাদা হয়, যা বাস্তবের সাথে মেলে না।

৫। আধুনিক কম্পিউটার ২ এর পরিপূরক ব্যবহার করে কেন?
👉 সরল সার্কিট, দ্রুত কাজ, একটাই শূন্য, আর যোগ-বিয়োগের জন্য একই সার্কিট ব্যবহৃত হয়।